Sassolini

Anche questo è un fastidioso sassolino, che mi sono ritrovato nella scarpa di tanto in tanto, da poco meno di sessant’anni. Il risultato è un saggio piuttosto lungo (quasi sessanta pagine), anche perché, strada facendo, mi sono tolto dalla scarpa un paio di altri sassolini più piccoli, ma non meno fastidiosi. La prima parte del saggio (Sez. I, II, III) sarà dedicata principalmente ad indicare come si è giunti alla classificazione delle equazioni alle derivate parziali, classificazione che culmina nell’equazione...

Questo è un fastidioso sassolino, che mi sono ritrovato nella scarpa di tanto in tanto, perché si tratta di uno dei più comuni test di logica e aritmetica (non chiamiamola matematica!). Risolverlo tranquillamente a mente fredda è un problema che non richiede più di qualche minuto, la prima volta che lo si incontra, mentre nell’affanno di un test, in un caso come questo la mente ha difficoltà a organizzarsi. Ho perciò deciso di studiare con comodo questo problemino, per trovare...

Il gioco del Nim è un gioco a due in cui possono vincere sia l’uno che l’altro giocatore. Si possono estrarre a sorte la posizione di partenza e chi incomincia per primo. A questo punto, se i due giocatori conoscono entrambi le regole, si può già sapere chi vincerà, e i due possono fare a meno di giocare. Ma, come vedremo, non sempre chi gioca per primo vince. Tuttavia, non è di questo che voglio scrivere ora. La mia storia...

The present essay is the expanded version of an answer to the question, which appeared on Quora, english edition: How does one realize that XOR is needed to solve the game of Nim? Nowadays, the interest on Nim does not seem to be very high, but my approach is that questions on Quora are just pretexts for me to study some problems I have heard about years ago, without ever having the time to look at them in depth. My...

Titolo completo: “ONDE DI GRAVITÀ NELL’ACQUA (ONDE DI SUPERFICIE) -Per chi si vuole divertire con un poco di matematica di medio livello. (Requisito: terzo corso universitario di matematica e fisica)”. Questa è la continuazione, a un più alto (ma lungi dall’essere eccelso) livello di matematica del mio precednte post sulla sci delle navi, in questo stesso sito. In gran parte il testo è ispirato dall’aureo libro di Arnold Sommerfeld, non premio Nobel, ma maestro di premi Nobel, (stesso destino di...

Titolo completo: “SCIA DELLE NAVI (PER TACER DELLE ANATRE) IN ACQUA PROFONDA, CIOÈ SAGGIO SULLE ONDE SUPERFICIALI SULL’ACQUA, VELOCITÀ DI FASE E DI GRUPPO, IL CURIOSO ANGOLO DI 19.48° E ALTRO - II.Edizione riveduta e corretta” Questa non è una risposta a una domanda comparsa su Quora. Si tratta di un sassolino che ho in una scarpa da più di sessant’anni. Affascinato dalla vista da un alto ponte su un fiordo di alcune scie di navi, e stupito dalla loro...

Questa è la risposta, pubblicata il 22 ottobre 2020 e completata il 24 ottobre, a una domanda mal formulata, comparsa su Quora. La domanda era: “Fa differenza cadere da un’altezza di 2 km o 20 m, o l’impatto con il terreno sarà lo stesso se cadi con la stessa velocità?” Devo dire che la parte sorprendente nella domanda è la postilla: “se cadi con la stessa velocità”. La possibilità di arrivare con la stessa velocità cadendo da altezze diverse si...

Questa è la terza edizione, con qualche dettaglio in più e qualche correzione, di un sassolino (anzi, una collezione di sassolini) che mi sono rimasti nelle scarpe fin dall’anno accademico 1962-1963 all’Università di Torino. Si tratta di un argomento trattato nel corso brevemente detto di “Analisi III”, o, più per esteso, “Istituzioni di analisi superiore - Metodi matematici per la fisica.” L’argomento è quello delle “Equazioni Integrali”. Ma il nostro eccellente professore, Francesco Giacomo Trìcomi, sebbene avesse scritto un libro...

Questo è un tentativo di risposta alla domanda comparsa su Quora: “Quanto fa la radice quadrata di 63,8?”. La domanda, secondo me, non brilla per soverchia originalità. Ma, siccome Quora paga chi fa più domande (non chi dà più risposte), ci si possono aspettare le domande più puerili. Questa è un esempio. Molte risposte già date sottolineavano questo fatto. Una sola dava un metodo iterativo di soluzione, ben noto, anche se che dava la risposta lo faceva precedere dalla frase...

Questo è un tentativo di risposta alla domanda comparsa su Quora: “È possibile sapere che ore sono in base alla posizione della Luna?”. Si trattava di un sassolino nella scarpa anche per me. Imparai il metodo quando ero boy scout, ma non cercai di comprendere perché dovesse funzionare. Ora lo riporto, con spiegazione, che non è neppure difficile: in effetti, il diagramma a me noto, a cui occorreva fare riferimento poteva essere molto semplificato, e disegnato in quattro e quattr’otto,...

Questo è un sassolino in una scarpa altrui, che però ha incominciato ad aprirmi la mente su un altro capitolo della matematica, quello del temuto determinante Jacobiano, che invece fu per me veramente un sassolino nella scarpa, di quelli taglienti, per tutto il Biennio di Analisi dell Universita. Sullo Jacobiano, in questo post scrivo poco, ma chissà, se mi basterà il tempo… Intanto intendevo rispondere a una domanda su Quora: “Cosa significa in senso geometrico svolgere il determinante di una...

Questo post poteva stare bene tanto nella sezione Matematica quanto nella sezione Sassolini. In realtà è proprio un sassolino nella scarpa, che ho già incluso nella mia illustrazione della dimostrazione del teorema dei Cinque Colori, data da Courant e Robbins (Che cosa è la matematica, Appendice al capitolo V -Topologia). Si tratta della celeberrima formulka F+V= L+2, che lega il numero di facce, vertici e spigoli di un qualsiasi poliedro. Poiché nel mio saggio sul teorema dei Cinque Colori questa...

Questo post poteva stare bene tanto nella sezione Matematica quanto nella sezione Sassolini. In realtà è proprio un sassolino nella scarpa, anzi due: (1) mi era sempre mancato qualcosa per essere convinto della dimostrazione del teorema dei Cinque Colori data da Courant e Robbins (Che cosa è la matematica, Appendice al capitolo V -Topologia); (2) non mi piacciono le dimostrazioni per “induzione matematica “ in cui la formula non viene dimostrata, ma piove dal cielo, e si dimostra solo che...

The right time and place to meet for the first time both the Hessian matrix and the Hessian determinant are about the second year of a course in Mathematical Analysis. However, since this concept is used only once in the whole course, its name is relegated to a footnote or little more. The prescriptions which are given to use the Hessian to conclude whether a critical point of a two-variables function is a maximum or a minimum or a saddle...

Il luogo e il tempo giusto per incontrare la matrice Hessiana e il determinante Hessiano sono intorno al secondo anno di analisi matematica. Ma, poiché questo concetto viene applicato una sola volta nel corso di analisi, è facile che sia menzionato poco più che in una nota a piè di pagina. Le prescrizioni che vengono date sul suo significato per stabilire se un dato punto critico di una funzione in due variabili sia un massimo, un minimo o un punto...

In questo post affronto tre dolorosi sassolini nella scarpa, cioè tre problemi o paradossi di ottica geometrica, che mi sono risolto in vario modo e in vari tempi: come si forma un’immagine prospettica elementare, spiegata in modo intuitivo; se una persona sta in piedi davanti ad uno specchio verticale, quanto deve essere lungo lo specchio perché essa possa vedersi dal sommo della testa ai piedi; perché uno specchio inverte la destra con la sinistra e non l’alto col basso? Specialmente...

Considerazioni sul destino ultimo dell’Universo e sulla possibilità di dover lasciare la Terra. Si parla poi di viaggi interstellari, in particolare del razzo relativistico in moto iperbolico, con motore ad antimateria, con un accenno ai costi e rischi connessi (c’è pure una parentesi matematica, per matematici ciclisti, che era il vero sassolino nella mia scarpa).

Questo post è ora sostituito da una seconda edizione, reperibile col titolo immaginifico “Il Viaggio Interstellare - Seconda Edizione”.

An essay on a generally neglected discovery by J.L. Lagrange, his “Equations of the First Type”. Written in reverent memory of an extraordinary teacher.

Questa seconda edizione del saggio, in cui si mostrava (non si dimostrava) come la frazione continua di Lord Brouncker fosse riconducibile alla serie di Gregory-Leibniz, è stata resa un poco più ordinata. Inoltre, qualche refuso è stato eliminato e qualche breve osservazione è stata aggiunta.

In this essay, translated from Italian, it is is shown in what I believe to be the simplest possible way, how Lord Brouncker’s continued fraction for the number Pi reduces to the Gregory-Leibniz series.

Mi è stato fatto notare che nella mia breve e discorsiva introduzione al calcolo di Pigreco avevo omesso il metodo delle frazioni continue. Certo non è l’unico metodo che ho omesso. Ad ogni modo, qui, in una sorta di appendice completo il compito, in modo ovviamente non rigoroso, mostrando (non certo dimostrando) come la frazione continua di Lord Brouncker sia riconducibile alla serie di Gregory-Leibniz.

Il gradiente è, diciamolo subito, un concetto di analisi matematica del secondo anno, e uno dei concetti fondamentali della geometria differenziale. Dico subito, estranei astenersi. Tuttavia una mia breve esperienza di insegnamento mi ha convinto che il concetto e i suoi usi più elementari sono più facili ad impararsi a memoria che a dimostrarsi. In questo post cerco di chiarire alcuni punti che per me sono stato a lungo oscuri. Il lettore esperto giudicherà se lo siano ancora…

La tesi di questo breve saggio è che l’esistenza dei numeri irrazionali ci indica come in parallelo a questo mondo naturale possa esistere un mondo ideale, regno di forme perfette, quello che i Greci chiamarono Iperurano.

Questa è la seconda parte della mia trilogia su pigreco. La prima parte (ricordare a memoria 100 cifre di pigreco) è già reperibile nella sezione Mnemotecnica. In questa pagina si ripassano quattro metodi per calcolare la fatidica costante. Un prossimo post, forse lontano nel tempo, riporterà la dimostrazione dell’importante teorema di Lindemann (1872), che pigreco è non solo un numero irrazionale, ma un numero trascendente, che cioè non è soluzione di alcuna equazione algebrica, diversamente dai numeri algebrici, quali la...

Qursto post, precedentemente collocato nella sezione “scienze -matematica”, nella sua Seconda Edizione è venuto ad occupare il posto che gli compete. Infatti, il calcolo con mezzi elementari della superficie di una comune sfera in 3D, e il calcolo della superficie e del volume di una sfera di n dimensioni sono sempre stati uno dei miei interrogativi. Qui sono risolti. Aggiungo una breve illustrazione della funzione Gamma di Euler.

Chi non si chiede come possano essere utilizzate le equazioni di Hamilton per risolvere il problema dell’Oscillatore Armonico in meccanica classica? In effetti, per trovare la soluzione anche in Rete bisogna cercarla col lanternino. Io l’ho cercata e non l’ho trovata, anche se sono sicuro che, magari in russo, la si trova. Stanco di sentire il popolo rumoreggiare chiedendo “Panem et Hamilton” ho deciso di fare un tentativo di spiegare la soluzione nel modo più semplice e coerente possibile. Questa...

Questo è un sassolino che viene dal primo anno del corso di Analisi. Ricordo che per colpa di questo sassolino, in cui mi si facevano imparare a memoria le soluzioni di due equazioni differenziali, mi convinsi che tanto valeva imparare tutto a memoria, e, visto che avevo una memoria buona… Così feci, ed ebbi la soddisfazion (magra però) di passare diversi esami sapendo quasi tutto a memoria e non avendo capito la maggior parte del corso. Scoprii naturalmente che molti...

(Questo è un sassolino nella scarpa differente dagli altri) About ten years ago I noted that the article on Wikipedia (both french and russian edition) on Picot de Peccaduc was completely wrong. Not knowing how to change it, I submitted a text in english giving my reasons to strongly suggest (see “Discussion”) to change the article. It was clear to me that the authors and contributors to the article made a single person of two different brothers. I never received...

In modo semplice il numero 3.5 è legato al lancio dei dadi. Se si lanciano 1000 dadi invece di 1, troviamo un valore più probabile per la somma dei numeri sulle facce superiori, oppure qualsiasi valore della somma tra 0 e 6000 ha la stessa probabilità di uscire? Come è noto, nel caso di un solo dado qualsiasi valore tra 1 e 6 ha la stessa probabilità di uscire. Il facile ragionamento che dà la risposta è un’applicazione del “secondo...

Per molti anni, quando mi lamentavo della lunghezza e della noia di un calcolo matematico da farsi per compito nelle medie, mi fu detto:”Vedrai quando dovrai estrarre un logaritmo!”. Questo sembrava essere il picco della difficoltà matematica. Per mia sfortuna, a scuola il metodo o un metodo (adesso ne conosco diversi) non mi fu mai insegnato. Mi domando se esistano ancora dei giovani interessati a scoprire come si estraggono i logaritmi. Possibile che sia io - non più giovane -...

Il paradosso di Zenone mi ha dato qualche filo da torcere tantissimi anni fa. Ho notato che ci sono taluni dei miei amici per cui esso è tutt’ora un sassolino nella scarpa. Ho pertanto cercato di presentarlo in forma di dialogo tra la Tartaruga e Achille, con l’intervento di altri personaggi. So bene che questo tipo di dialogo è stato sfruttato da altri autori con altri scopi. Io qui mi limito al paradosso di Zenone.