Matematica

Ovvero:”I simboli di Christoffel del poveruomo” Seconda Edizione. Con cenni sulle equazioni di Lagrange, le geodetiche, le derivate covarianti) Circa sei anni fa, nel 2018 o giù di lì, ho scritto un saggio sui Simboli di Christoffel per QUORA. Ho cercato di semplificare la materia al massimo possibile, ma ci sono cose che non possono essere facilmente semplificate. Un poco di matematica e qualche diagramma (e qualche parola in più) possono aiutare. In effetti, per sei anni sono rimasto insoddisfatto...

Il Moebius ((1790-1868) dimostrò che il birapporto poteva essere considerato come l’unico invariante della geometria proiettiva, cioè l’unico pilone in acciaio inossidabile che sosteneva l’edificio di quella che il fisico Dirac definì come la più elegante branca della geometria, concetto informatore per classificare le sparse branche della geometria sviluppatesi almeno fino ai tempi suoi. Ma il birapporto ebbe sempre per me il difetto di basarsi su una definizione geometrica, una formula della quale non c’era, o non mi era stata...

Moebius ((1790-1868) demonstrated that the cross-ratio could be considered as the only invariant of projective geometry, that is, the only stainless steel pillar that supported the building, which the physicist Dirac termed as the most elegant branch of geometry, an informing concept to classify the scattered branches of geometry that had been developed at least up to his time. But for me the cross-ratio always had the flaw of being based on a geometric definition, a formula of which there...

Questo post è stato ispirato da una domanda, anzi, da una famiglia di domande più o meno equivalenti apparse su Quora in varie lingue. La questione è annosa e ha dato luogo a discussioni a livello assai più elevato del mio e di quello di Quora, senza tuttavia portare a conclusioni convincenti. In breve, la domanda è:”La matematica, è un’invenzione o una scoperta?”. Dico subito che io , pur non potendo provare la mia tesi con argomenti definitivi, sono convinto...

Questo post è stato ispirato da una domanda apparsa su Quora in inglese “What are some interesting and surprising results about infinity that I may not know?”, domanda sciocca o formulata in modo sciocco: che ne so io, di quello che sa sull’infinito chi ha posto la domanda? Un po’ meglio è la domanda in italiano alla quale ho risposto: “Che riflessioni si generano nella tua mente quando mediti sul concetto di “infinito”?”. Il presente saggio riporta la mia risposta,...

Questa è una presentazione elementare, spero non troppo erronea o confusa, di una questione molto nota della matematica, quello della relazione fra la Funzione Zeta di Riemann e i numeri primi. Della celebre ipotesi/congettura di Riemann si parlerà quanto ne parlò Riemann stesso nel suo unico articolo sui numeri primi, cioè poco e niente. Spero tuttavia che l’eventuale lettore non resti né scoraggiato né deluso da questo saggio.

Circa quarant’anni fa, quando incominciai a interessarmi al declino delle mie capacità intellettive, mi imbattei nella figura che riporto in pag.1. Si trattava di un quiz: “Dato lo sviluppo di un cubo con figure diverse sulle varie facce, dedurre quale delle varie raffigurazioni di cubi proposte NON poteva derivarne”.Il commento che trovai nel testo che accompagnava il quiz, sembrava indicare che si trattava di un problema assai difficile. Feci così qualche tentativo, ma con poca convinzione, non riuscii, e lasciai...

Scrivo qui, e ripeterò più avanti che i numeri complessi sono stati - secondo me - la seconda più importante invenzione (o scoperta? Ma questa è un’altra domanda) della matematica, dopo i numeri naturali. Ma ad inventare questi ultimi collaborarono per millenni diversi anonimi matematici della prima ora appartenenti a diverse culture. L’invenzione/scoperta dei numeri complessi, invece, nella sua essenza occupò circa un trentennio nella seconda metà del Cinquecento, e impiegò circa due secoli e mezzo a essere perfezionata e...

La seconda legge della dinamica di Newton, F=ma, regnò incontrastata per circa due secoli. Poi si ebbe un notevole sviluppo nel XIX secolo della “meccanica analitica classica”, con la meccanica Hamiltoniana, che culminò nell’equazione di Hamilton-Jacobi. Dall’una e dall’altra, la forza era praticamente scomparsa. Il regno di F=ma incominciò a vacillare. Il tracollo si completò nel secolo XX, nei due più moderni sviluppi della meccanica, vale a dire la meccanica relativistica e la meccanica quantistica. Nella seconda, mentre si parla...

Forse sarà sorprendente venire a sapere che in generale, dati una base e una potenza qualsiasi, in quattro casi su dieci la risposta è immediata (essa dipende dai riflessi di chi risponde, quindi tra 0.3 secondi e un secondo) e negli altri sei casi può essere data in meno di un minuto. Questo curioso risultato mi è venuto in mente provando a rispondere alla seguente domanda comparsa su Quora (in inglese): Qual è la cifra delle unità di 3¹⁰⁰ (utilizzando...

Ancora una volta, questo saggio discende da una domanda comparsa su Quora.: Qual è la radice quadrata di 4624? Pubblicata una breve risposta, rimasi stupito dall’alto numero di visualizzazioni: ancora oggi, si tratta della mia risposta che ha avuto il quinto numero di visualizzazioni, su 245 risposte da me date sinora, agosto 2021, sugli argumenti più disparati, la maggior parte delle quali secondo me più interessanti della presente. Visto l’interesse esistente per questo tipo di problemi, pensai di estendere il...

Questo testo è, con pochi emendamenti, la mia risposta ad una domanda comparsa su Quora: È possibile definire una matematica senza concetti primitivi, ma solo da assiomi? Vi si possono riconoscere quattro parti, due delle quali già presenti in questo sito. Anzitutto viene presentato, come compare nel suo testo Grundlagen der Geometrie (I fondamenti della geometria), il programma di David Hilbert, 1899. Questo è seguito da una versione romanzata di come potrebbero esser state elaborate le idee del programma assiomatico...

Questo è più un sassolino in una scarpa che un post di matematica, perché risale al 1974, quando mi fu consigliato un libro (D.E. Knuth,”Surreal numbers”, Addison & Wesley 1974), che acquistai e non ebbi mai il tempo di leggere con cura. D’altra parte, leggerlo distrattamente era impossibile. Finalmente ho potuto leggerlo a mio agio, e togliermi, almeno entro i miei modesti limiti, anche questo sassolino da una scarpa. Ma siccome il contenuto, anche se da parte mia dilettantesco, è...

Risporta a una domanda compars su Quora, a cui risposi il 30 dicembre 2020. Come sarebbe la matematica se esistessero solo dieci numeri? La prima cosa da dire è che una matematica o una aritmetica – anzi, più d’una - con pochi numeri è possibile. Per dare un esempio semplice, nella mia risposta mi sono limitato a cinque numeri, ma penso che i concetti fondamentali siano gli stessi e l’esposizione sia semplificata. Per semplificare ulteriormente le cose, dopo un’introduzione seriosa...

The present essay is dedicated to the English-speaking friends. It is an answer to the question: “What is the formula for the sum of squares?” The question is ill-worded, and I assumed that it meant: “What is the the sum of the squares of the natural numbers from 1 to n?” On such assumption, I wrote an essay in two parts. The first part gives what I think to be the most elementary approach to finding the formula; the second...

Ho trovato su Quora.it, almeno due versioni - finora - della domanda “Come può avere senso un’equazione tipo x+1=x?”. Diversamente dalla domanda a cui ho già dato risposta, sullo spazio di Hilbert, questa domanda può essere fatta da qualsiasi persona che abbia anche solo una modesta conoscenza di algebra. D’altra parte penso che la domanda sia una traduzione dall’inglese, e quindi che chi l’ha posta abbia letto anche qualcuna delle risposte, che su Quora inglese sono più di cento, a...

Le domande equivalenti su Quora questa volta erano almeno cinque: Che cos’è lo spazio Hilbert o lo spazio Hilbert? (?) Cos’hanno di speciale gli spazi di Hilbert? Cos’è lo spazio di Hilbert? Sapresti spiegare in termini semplici cosa è lo spazio di Hilbert? Cosa è uno Spazio di Hilbert? E come si può spiegarlo in modo semplice? Chi fa una domanda del genere, qualche cosa di matematica la deve sapere, magari poco, magari pochissimo. E le risposte che ho visto...

Questo è un mio vecchio mio progetto (messo insieme verso il 2010, ma risalente a una trentina d’anni fa). L’idea era di scrivere un’antologia elementare di soggetti della matematica, di varia difficoltà e vario interesse, spiegati nel modo più semplice possibile. Pochissime tra le spiegazioni, devo ammetterlo, sono interamente farina del mio sacco. Il livello dei vari soggetti è vario, ma non eccede il curriculum di un liceo. In realtà la speranza è che sia accettabile “à la carte” a...

La domanda su Quora questa volta era: “Come spiegheresti il concetto di equazione a un bambino?”. In questo saggio faccio l’esperimento di compiere il cammino inverso a quello normalmente seguito nelle scuole, o almeno, nelle scuole di sessant’anni fa, dove ho appreso l’Algebra io. In altre parole la mia considerazione è che le più semplici tra le equazioni possono essere risolte da bambini senza usare l’algebra e senza sapere che stanno risolvendo equazioni, tanto più che di norma non usano...

Risposta a una domanda comparsa su Quora: “Si può fare una dichiarazione percentuale sulla distribuzione dei numeri interi, razionali, algebrici e trascendentali?” Trascendentale è una traduzione letterale di “trascendental” in inglese, e mi insospettisce alquanto. La domanda in italiano è probabilmente la traduzione di una domanda già comparsa altrove in inglese. Poco importa. Ho cercato di dare la risposta più semplice e diretta possibile. Per esempio ho omesso, come non necessario, il famoso “argomento diagonale”, orgoglio di Cantor, che ,...

Si tratta della seconda edizione del mio saggio: Variazioni sul tema della quarta dimensione, nella sezione “Altro”. Per restare in tema, neanche questa è una mia risposta a una domanda apparsa su Quora, ma ne è stata ispirata. La domanda era:”In una conferenza online, un professore ha detto che Einstein potrebbe disegnare o immaginare una figura a 4 dimensioni. Come si può realizzare una cosa del genere?”. Questo mi diede l’occasione di pensare un po’ più in profondità al problema....

Questa non è, tanto per cambiare, una mia risposta a una domanda apparsa su Quora, ma ne è stata ispirata. La domanda era:”Come si fa a dimostrare che 1+2^3+3^3+⋯n^3=〖( 1+2+3+⋯+n)〗^2?”. Per prima cosa riprodussi il metodo che mi fu insegnato all’università, che permette di calcolare in modo ricorsivo tutte le somme di potenze di n numeri naturali elevati all’esponente k, quale che sia n e quale che sia k. In secondo luogo sapevo che esisteva una semplice dimostrazione intuitiva e...

Altra mia risposta a una domanda su Quora, “Perché 6174 è un numero misterioso?”. Devo dire che questo “mistero” (scoperto da un modesto insegnante di scuola indiano del Kerala dopo la seconda guerra mondiale) mi era stato proposto da Sardonicus anni fa, e l’avevo snobbato, ma evidentemente qualcosa era restato nel retro della mia mente. Questa volta, la domanda di Quora, è caduta su un terreno fertile, e, con mia enorme sorpresa, mi sono interessato a questa curiosità, più da...

Altra mia risposta a una domanda su Quora, “In che cosa consiste la Zeta di Riemann?”. Chi lo sa, forse il problema continua a interessare. Ho notato che nelle risposte che ho trovato in rete, in varie lingue, si dice sempre che c’è una connessione tra gli zeri della Zeta e i numeri primi, ma non ho mai visto in matematica divulgativa questa connessione in qualche modo anche rozzissimo spiegata. Per cui ho vendemmiato da uno dei miei primi post,...

Altra mia risposta a una domanda su Quora, “Come posso dimostrare il teorema di Wilson? Perché è applicabile solo per i numeri primi?”. Anche qui, consultando la letteratura non ho trovato motivi validi per attribuire questo teorema a John Wilson, che arrivò 1000 anni dopo un matematico Arabo, Ibn al-Haytham o Alhazen, di Bassora (Irak), 965-1040. Anche Leibniz circa un secolo prima di Wilson , aveva fatto la stessa osservazione, senza dimostrarla. Similmente, Wilson e il suo maestro, Waring, nel...

Anche questa volta il mio saggio proviene dalla mia risposta a una domanda su Quora, “Cos’è la costante Eulero-Mascheroni?”. Mi spiace dire che consultando la letteratura non ho trovato motivi validi per attribuire anche a Lorenzo Mascheroni (illustre matematico, e fine poeta bergamasco) il nome di questa costante. Le date parlano chiaro. Ad ogni modo, ho fatto del mio meglio per rispondere, come il solito.

Questa volta il mio saggio proviene dalla mia risposta a una domanda su Quora, ma in francese: “Comment puis-je résoudre x! = 40320 mathématiquement ?”. Bisogna dire che non riesco a capire come si potrebbe risolvere il problema “non matematicamente”. In ogni caso non credo che esista una funzione analitica inversa del fattoriale o della funzione Gamma di Eulero. Se esiste, non l’ho ancora trovata. Invece mi sono imbattuto in una semplicissima formula di ricorrenza basata sull’approssimazione di Stirling, che,...

Ennesimo saggio in risposta a una domanda posta su Quora: “Cos’è il teorema dei 4 colori?”. Trattandosi del primo teorema dimostrato non solo da umani ma col sussidio importante di computer (1976), non tanto il risultato della dimostrazione, ma il metodo stesso apre la porta a diversi interrogativi. Prevedo naturalmente che il fenomeno si estenderà. Ma a che serve conoscere un risultato che non ha nessuna utilità pratica nell’immediato, se non si ha idea di come lo si sia ottenuto?...

Questo saggio doveva essere un’appendice al teoremma dei “cinque colori”, a sua volta parte di un’appendice al teorema dei “quattro colori”. Un giorno o l’altro lo farò. Per ora presento una dimostrazione del caso più elementare del teorema di Jordan, secondo il quale una curva chiusa che soddisfa a certe condizioni divide il piano in due regioni, una interna e una esterna alla curva (banale, no?), e ne mostrerò l’applicazione al problema di stabilire se un punto si trova all’interno...

In questo saggio ho voluto introdurre altri concetti di distanza, diversi da quello più intuitivo, che fu codificato da Euclide. Così il lettore curioso incontrerà la geometria del tassista o di Manhattan, la distanza dei montanari, la distanza di Chebyshev e quella del Cavallo negli scacchi, con un’onorevole menzione dell’intervallo della teoria della relatività. Tutto questo è la traduzione di una risposta da me data ad una domanda comparsa su Quora (edizione francese): “Qu’est-ce que la géométrie des taxis?”

Perché le prime pagine delle tavole numeriche (che ormai più nessuno usa) erano più usate e gualcite delle altre? La gente si stancava di leggere l’avvincente romanzo? Eppure una ragione c’è. Nella vita reale sotto condizioni molto generali è più probabile incontrare un numero che incomincia per 1 piuttosto che per 9. E la “legge di Benford” enuncia questo fatto. La legge è di larga applicazione, soprattutto per scoprire frodi fiscali, contabili, elettorali, anche se non tutti sono convinti della...

Se si vogliono risolvere tutte le equazioni polinomiali, di qualsiasi grado, estraendone tutte le radici, reali e complesse, non c’è che il calcolo numerico che ci possa aiutare. Qui propongo il mio metodo prediletto, di Weierstrass(Durand & Kerner), facile da comprendere nei suoi principi e facile da mettere in opera (meglio se con un non difficile programmino per computer che vi sarete presi il piacere di preparare). Se mai dovrete risolvere un’equazione di decimo grado…

Questo breve saggio è tratto da una mia risposta ad una domanda posta a “Quora”. La domanda, fatta l’ultima volta il 24 marzo 2018 era “Come è nato il concetto dei determinanti?”. ed era posta a Quora in Italiano. Io non ho fatto altro che cercare e trovare su Internet una presentazione che mi soddisfacesse della storia del concetto di determinante e ne ho tratto, tradotto e leggermente rimaneggiato la parte di interesse, ad uso dei miei colleghi italiani. Nella...

Saggio sul teorema di Ruffini riguardante l’inesistenza di una soluzione generale di un’equazione algebrica di grado superiore al quarto mediante funzioni algebriche. In questo saggio, dovuto a Crispin e Jacob, tra l’altro si cerca di far vedere come la dimostrazione data da Ruffini potesse essere considerata soddisfacente, come lo fu per Cauchy, pur mancando di un elemento che in seguito spinse a chiamare questo teorema “teorema di Abel” e solo più tardi “teorema di Abel-Ruffini”. Per noi è il teorema...

Come diceva Poisson (quello delle statistiche) "Nella vita non c'è di meglio da fare che esplorare la matematica ed insegnare la matematica". L'esplorazione può essere condotta a diversi livelli, e il sito del Daino Equinoziale, non essendo una rivista scientifica, si accontenta di mostrare come due amici (nessuno dei quali si chiama Jakob, o, peggio ancora, Crispin) abbiano provato diletto ad esplorare un aspetto curioso dell'aritmetica, che li ha portati a conclusioni curiose, se non originali. Non tutti i bambini...

Questa è una presentazione elementare, spero non troppo erronea o confusa, di un campo affascinante della matematica, quello dell’estensione dell’aritmetica al campo complesso: numeri interi, massimo comun divisore, numeri primi eccetera. Si scoprirà che sull’asse reale i numeri primi si dimezzano, e scompaiono quelle coppie di numeri primi la cui differenza è due, e sembrano andare sempre più rade fino all’infinito. In compenso il piano complesso si popola di uno sciame di numeri primi gaussiani, che, per così dire, si...

Penso che perfino l’aritmetica, nelle menti giuste, possa suscitare qualche interesse, pur essendo considerata, di norma, la materia più noiosa delle scuole elementari. Un uso oculato delle macchine calcolatrici, anche le più modeste, forse può aiutare a far apprezzare alcuni aspetti di questa materia, permettendo di sperimentare con ipotesi e investigare regole che vengono date sovente di schianto, da imparare a memoria. Così si possono aprire inattese finestre su campi molto avanzati della teoria dei numeri. Non si dimentichi che...

Questo post, basato su due post di data odierna, “Divisioni, tre variazioni sul tema” e “Elementari Conguenze”, è stato scritto per dimostrare ed utilizzare un teorema del XVII secolo, che servirà in seguito, ma soprattutto dovrebbe far passare la paura dei grandi numeri: infatti ci porta a risultati semplici su numeri mostruosi. Chissà che i numeri enormi così domati non spaventino più, ma piuttasto attirimo col loro fascino coloro che hanno la mente fatta per queste cose (che, sospetto, sono...

Questo breve post si occupa dei resti delle divisioni, presentando un paio di applicazioni semplici. Insieme a quello messo in linea oggi stesso sulle divisioni, il post prepara la via per un terzo post, che, come si vedrà, porta a volare molto più in alto alto. Se riuscirò a convincere un amico forse arriveremo in seguito ad un quarto post, più applicativo.

In questo saggio, completo il mio programma di studi sulla costante Pigreco, dimostrandone la trascendenza (Lindemann, 1882) e ci aggiungo anche la “e” per far buon peso (Hermite, 1972). Per ottenere questo risultato ho tradotto e commentato i testi di Steve Mayer, 2005 e 2006, cercando di chiarire alcuni punti che mi erano rimasti oscuri. Il testo del Mayer, allegato, è sufficiente per chi abbia qualche decente disposizione per la matematica, il che non è più il mio caso. Per...

Un forse troppo semplice sguardo alla “Guerra Fredda” dal punto di vista della teoria dei giochi. Si tratta dello schema di una chiacchierata da tenersi a persone un po’ allergiche alla matematica, per cui di matematica ce n’è veramente poca. Da vergognarsi.

Il contenuto di questo post è stato spostato nei “Sassolini”

Seconda edizione di un ingenuo approccio al problema del titolo.

La funzione Phi di Euler credo sia stata scoperta per mostrare che l’Aritmetica non è costituita da banali e ripetitivi esercizi sulle quattro operazioni (soprattutto come lo era prima dell’avvento dei PC) , ma può stimolare il nostro cervello e persino risultare interessante. Qui presento una modestissima introduzione, che ci sarà, spero, utile in seguito.

Mentre nel suo terzo dialogo Newton spiega al fedele amico come la formula per il binomio con potenza non intera possa essere estesa anche a non-numeri, trovando così formule per l’interpolazione numerica di valori equispaziati di tavole, Lagrange si pone il problema dell’interpolazione tra valori che non siano equispaziati. Oggi, microcalcolatori a buon mercato permettono di avere i valori precisi quanto si vuole, ma il lettore che ama la matematica non mancherà di apprezzare il metodo di Lagrange, anche solo...

Per alcuni post di questo sito è utile, e talora indispensabile, saper usare un programma. Come linguaggio ho scelto Small Basic della Microsoft, non troppo complicato e disponibile gratuitamente in rete. Il post “Small Basic - istruzioni per l’uso” insegna come installare Small Basic, come scaricare un programma esistente e come usarlo. Non si richiede, strettamente parlando, che l’utente sappia fare programmi.

In quest’ultimo (per il momento) dialogo, Newton spiega al fedele amico come la formula per il binomio con potenza non intera possa essere estesa anche a non-numeri, trovando così formule per l’interpolazione numerica di valori equispaziati di tavole. Si conclude in appendice dando le formule (numeriche) per la valutazione delle differenze in termini delle derivate, e quella delle derivate in termini delle differenze. Lettura raccomandata in estate sulla spiaggia.

In questo dialogo Newton spiega al fedele amico (bisognava essere proprio fedeli, per essere amici di un caratteraccio come Newton!) come la formula per il binomio possa essere estesa anche a non-numeri, per esempio per trovare leggi che regolano le successioni di numeri. Si continua l’esplorazione del triangolo di TP.

Ancora un post sulla roulette. Normalmente si dice che la tecnica dei “ritardi” non può funzionare (il che è corretto) perché (e qui si può discutere) la “legge dei grandi numeri” vale solo per un numero infinito di tentativi (il che è di nuovo corretto). In questo post si dà un’altro motivo, naturalmente già noto a chi è noto, per mostrare che la legge dei grandi numeri non dice quello che normalmente si crede. In particolare, giocando su una scelta...

In questo post si tenta di spiegare come in molti casi in cui ci si sente sistematicamente perseguitati dalla cattiva sorte, in realtà ci troviamo ripetutamente in situazioni in cui le probabilità sono contro di noi e quindi quella che ci sembra cattiva sorte è piuttosto mancanza di una particolare ed eccezionale fortuna.

Qui, con metodo non rigoroso, si cerca di sviluppare potenze di un binomio con esponente non intero. Post per chi ama esplorare quel che succede spingendo i formalismi oltre i campi da cui si era partiti.

Introduzione elementare al Triangolo di Tartaglia (o Pascal). In questo post si presentano aspetti elementari, che richiedono solo le quattro operazione e un po’ di riflessione. Il post è destinato a continuare con qualche applicazione meno evidente.

Si insegna un semplice metodo per moltiplicare grandi numeri per numeri di una cifra. Chissà se è permesso usarlo in classe!

In questo breve testo, continuazione del precedente “Dialogo sulla geometria assiomatica”, si danno alcuni esempi del funzionamento della geometria assiomatica, nel modo sperabilmente più semplice possibile.

Anche questo è un breve testo senza pretese per matematici che stanno imparando a camminare. Qui vengono sviluppati alcuni concetti già indicati nel saggio sulle geometrie non euclidee.

Questo è un breve testo senza pretese per matematici che stanno imparando a camminare. Le difficoltà di puro calcolo sono minime, quelle concettuali richiedono qualche modesta riflessione. Spero solo di non confondere le idee a studiosi di buona volontà. Non me lo perdonerei.

La cosiddetta “legge del terzo” effettivamente esiste ed è corretta. Essa discende, per eventi rari, dalla distribuzione statistica di Poisson. Le applicazioni alla Roulette che ho potuto esaminare sono però tutte sbagliate. In questo post propongo un esame in sette domande per vedere quanto si è compreso della legge del terzo.

Ho incominciato a studiare con cura Madame Roulette circa cinque anni fa. Ho fatto letteralmente più di due miliardi di simulazioni per trovare il “Sistema Infallibile”, che assicuri un anche piccolo guadagno regolare. Non l’ho trovato, per quanti tentativi abbia fatto. Ho trovato invece una serie di regole sulla Roulette che rendono facile a chi vuol tentare la fortuna non tanto vincere, quanto comprendere il comportamento della magica ruota. Non per questo lo scopo del presente saggio è di convincere...